Рассмотрим процесс зарядки уединенного проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q , будем сообщать проводнику заряд порциями dq , перенося их из бесконечно удаленной точки 1 на поверхность проводника в точку 2 (рис. 3.14). Для передачи проводнику новой порции заряда
внешние силы должны совершить работу против сил электрическогополя: . Поскольку проводник уединенный (точка1 бесконечно далека от проводника), то
. Потенциал точки2 равен потенциалу проводника . Поэтому
. Если проводнику передан зарядq , то его потенциал
. Полная работа внешних сил по зарядке проводника до значения зарядаQ будет равна

.

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил по зарядке проводника увеличивает энергию создаваемого электростатического поля, т.е. проводник запасает определенную энергию:

. (3.13)

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды с одной пластины на другую, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

,

где Q – заряд конденсатора после зарядки. Тогда энергия электрического поля, созданного конденсатором, определится как

. (3.14)

Выражение (3.14) позволяет записать величину энергии электростатического поля двумя способами:

и
.

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: что является носителем электрической энергии? Заряды (первая формула) или поле (вторая формула)? Оба записанных равенства прекрасно согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно вести по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов. При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем (гл. 8) мы увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле – это частный случай электромагнитного поля, существующего в пространстве в виде электромагнитной волны. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью. Введем понятие объемной плотности энергии поля следующим образом.

Преобразуем последнее равенство (3.14) для случая плоского конденсатора, воспользовавшись связью разности потенциалов и напряженности однородного поля:

где
– объем конденсатора, т.е. объем части пространства, в котором создано электрическое поле.

Объемной плотностью энергии поля называется отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему:

. (3.15)

Следовательно, энергию однородного электрического поля можно рассчитать так:
.

Сделанный вывод можно распространить на случай неоднородного поля таким образом:

, (3.16)

где
– такой элементарный объем пространства, в пределах которого поле можно считать однородным.

Для примера рассчитаем энергию электрического поля, созданного уединенным металлическим шаром радиусом R , заряженным зарядом Q , и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью . Повторив рассуждения примера из п.2.5, получим модуль напряженности поля в виде функции
:

Тогда выражение для объемной плотности энергии поля примет вид:

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с внутренним радиусом r и толщиной
(рис. 3.15). Объем этого слоя
. Тогда энергия поля определится так:

Аналогичный результат мы бы получили, если бы вычисляли энергию заряженного шара по формуле (3.13), воспользовавшись (3.6):

.

Однако следует помнить, что такой способ неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме поля, а лишь в его части. Также метод расчета по формуле (3.13) нельзя использовать при определении энергии поля системы, для которой неприменимо понятие “емкость”.

Электрическую энергию плоского конденсатора можно выразить через напряженность поля между его обкладками:

где
- объем пространства, занятого полем, S – площадь обкладок, d – расстояние между ними. Оказывается, через напряженность можно выразить электрическую энергию и произвольной системы заряженных проводников и диэлектриков:

, (5)

,

а интегрирование проводится по всему пространству, занятому полем (предполагается, что диэлектрик изотропный и
). Величинаw представляет собой электрическую энергию, приходящуюся на единицу объема. Вид формулы (5) дает основания предположить, что электрическая энергия заключена не во взаимодействующих зарядах, а в их электрическом поле, заполняющем пространство. В рамках электростатики это предположение проверить экспериментально или обосновать теоретически невозможно, однако рассмотрение переменных электрических и магнитных полей позволяет удостоверится в правильности такой полевой интерпретации формулы (5).

7. Энергия электрического поля (Примеры решения задач) Энергия взаимодействия зарядов

Пример 1.

Определите электрическую энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной a (см. рис.2).

Решение .

На рис.3 условно изображены двунаправленными стрелками все парные взаимодействия зарядов. Учитывая энергии всех этих взаимодействий, получим:

.

Пример 2.

Определите электрическую энергию взаимодействия заряженного кольца с диполем, расположенным на его оси, как показано на рис.4. Известны расстояния a , l , заряды Q , q и радиус кольца R .

Решение .

При решении задачи следует учесть все энергии парных взаимодействий зарядов одного тела (кольца) с зарядами другого тела (диполя). Энергия взаимодействия точечного заряда q с зарядомQ , распределенным по кольцу, определяется суммой

,

где
- заряд бесконечно малого фрагмента кольца, - расстояние от этого фрагмента до зарядаq . Поскольку всеодинаковы и равны
, то

Аналогично найдем энергию взаимодействия точечного заряда –q с заряженным кольцом:

Суммируя W 1 иW 2 , получим для энергии взаимодействия кольца с диполем:

.

Электрическая энергия заряженных проводников

Пример 3.

Определите работу электрических сил при уменьшении в 2 раза радиуса однородно заряженной сферы. Заряд сферы q , ее первоначальный радиус R .

Решение .

Электрическая энергия уединенного проводника определяется формулой
, гдеq – заряд проводника,- его потенциал. Учитывая, что потенциал однородно заряженной сферы радиусаR равен
, найдем ее электрическую энергию:

.

После уменьшения в два раза радиуса сферы ее энергия становится равной

.

Электрические силы при этом совершают работу

.

Пример 4.

Два металлических шара, радиусы которых r и 2r , а соответствующие заряды 2q и –q , расположены в вакууме на большом расстоянии друг от друга. Во сколько раз уменьшится электрическая энергия системы, если шары соединить тонкой проволокой?

Решение .

После соединения шаров тонкой проволокой их потенциалы становятся одинаковыми

,

а установившиеся заряды шаров Q 1 и Q 2 получаются в результате перетекания заряда с одного шара на другой. При этом суммарный заряд шаров остается постоянным:

.

Из этих уравнений найдем

,
.

Энергия шаров до соединения их проволокой равна

,

а после соединения

.

Подставляя в последнее выражение значения Q 1 и Q 2 , получим после простых преобразований

.

Пример 5.

В один шар слились N = 8 одинаковых шариков ртути, заряд каждого из которых q . Считая, что в начальном состоянии ртутные шарики находились на большом расстоянии друг от друга, определите, во сколько раз увеличилась электрическая энергия системы.

Решение .

При слиянии ртутных шариков сохраняется их суммарный заряд и объем:

,

где Q – заряд шара, R – его радиус, r – радиус каждого маленького ртутного шарика. Суммарная электрическая энергия N уединенных шариков равна

.

Электрическая энергия полученного в результате слияния шара

.

После алгебраических преобразований получим

= 4.

Пример 6.

Металлический шарик радиуса R = 1 мм и заряда q = 0,1 нКл с большого расстояния медленно приближают к незаряженному проводнику и останавливают, когда потенциал шарика становится равным  = 450 В. Какую работу для этого следует совершить?

Решение .

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

,

где q 1 иq 2 – заряды проводников, 1 и 2 – их потенциалы. Так как проводник по условию задачи не заряжен, то

,

где q 1 и 1 заряд и потенциал шара. Когда шар и незаряженный проводник находятся на большом расстоянии друг от друга,

,

и электрическая энергия системы

.

В конечном состоянии системы, когда потенциал шара стал равным , электрическая энергия системы:

.

Работа внешних сил равна приращению электрической энергии:

= –0,0225 мкДж.

Заметим, что электрическое поле в конечном состоянии системы создается зарядами, индуцированными на проводнике, а также зарядами, неоднородно распределенными по поверхности металлического шара. Рассчитать это поле при известной геометрии проводника и заданном положении металлического шара весьма непросто. Нам не потребовалось этого делать, поскольку в задаче задана не геометрическая конфигурация системы, а потенциал шара в конечном состоянии.

Пример 7 .

Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R 1 и R 2 (
и соответствующими зарядамиq 1 и q 2 . Найдите электрическую энергию W системы. Рассмотрите также специальный случай, когда
.

Решение .

Электрическая энергия системы из двух заряженных проводников определяется формулой

.

Для решения задачи необходимо найти потенциалы внутренней ( 1) и внешней ( 2) сфер. Это нетрудно сделать (см. соответствующий раздел пособия):

,
.

Подставляя эти выражения в формулу для энергии, получим

.

При
энергия равна

.

Вопрос №1

Электрическое поле. Для объяснения природы электрических взаимодействий заряженных тел необходимо допустить наличие в окружающем заряды пространстве физического агента, осуществляющего это взаимодействие. В соответствии с теорией близкодействия , утверждающей, что силовые взаимодействия между телами осуществляются через посредство особой материальной среды, окружающей взаимодействующие тела и передающей любые изменения таких взаимодействий в пространстве с конечной скоростью, таким агентом является электрическое поле .

Электрическое поле создается как неподвижными, так и движущимися зарядами. О наличии электрического поля можно судить, прежде всего, по его способности оказывать силовое действие на электрические заряды, движущиеся и неподвижные, а также по способности индуцировать электрические заряды на поверхности проводящих нейтральных тел.

Поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, называют стационарным электрическим , или электростатическим полем. Оно представляет собой частный случай электромагнитного поля , посредством которого осуществляются силовые взаимодействия между электрически заряженными телами, движущимся в общем случае произвольным образом относительно системы отсчета.

Напряженность электрического поля. Количественной характеристикой силового действия электрического поля на заряженные тела служит векторная величина E , называемая напряжённостью электрического поля .

E = F / q пр.

Она определяется отношением силы F , действующей со стороны поля на точечный пробный заряд q пр, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине этого заряда.

Понятие «пробный заряд» предполагает, что этот заряд не участвует в создании электрического поля и так мал, что не искажает его, т. е. не вызывает перераспределения в пространстве зарядов, создающих рассматриваемое поле. В системе СИ единицей напряженности служит 1 В / м, что эквивалентно 1 Н / Кл.

Напряженность поля точечного заряда. Используя закон Кулона найдем выражение для напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом q в однородной изотропной среде на расстоянии r от заряда:

В этой формуле r – радиус-вектор, соединяющий заряды q и q пр. Из (1.2) следует, что напряжённость E поля точечного заряда q во всех точках поля направлена радиально от заряда при q > 0 и к заряду при q < 0.

Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, создаваемого системой неподвижных точечных зарядов q 1 , q 2 , q 3 , ¼, q n , равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности:
, где r i – расстояние между зарядом q i и рассматриваемой точкой поля.

Принцип суперпозиции , позволяет рассчитывать не только напряжённость поля системы точечных зарядов, но и напряженность поля в системах, где имеет место непрерывное распределение заряда. Заряд тела можно представить как сумму элементарных точечных зарядов dq .

При этом, если заряд распределен с линейной плотностью t, то dq = tdl ; если заряд распределен с поверхностной плотностью s, то dq = dl и dq = rdl , если заряд распределен с объёмной плотностью r.

Вопрос №2

Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукцииопределяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля

dF D = D dS

В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q, находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности dS равен

Составляющую dS D = dS cosa элемента поверхности dS в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r, в центре которой расположен заряд q.

Учитывая, что dS D / r 2 равен элементарному телесному углу dw, под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности dS, преобразуем выражение (1.4) к виду dF D = q dw / 4p, откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4p, получим

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q, то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S 1 и S 2 . Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S 1 и S 2:

.

Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w. Поэтому потоки равны

Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф 1D < 0, тогда как поток Ф 2D > 0. Суммарный поток Ф D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q 1 , q 2 ,¼, q n , которая охватывается замкнутой поверхностью S, то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

Следует отметить, что заряды q i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие - заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S, электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём dV имеет заряд . В этом случае в правой части выражения алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S:

Это выражение является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности .

Вопрос №3

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда: , где W п1 и W п2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q , изменение потенциальной энергии равно . При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r 1 и r 2 от заряда Q , . Если поле создано системой точечных зарядов Q 1 , Q 2 ,¼, Q n , то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле: . Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q , а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q , находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q , получим

, где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид . При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную .В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q :

.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... , n ). Энергиявзаимодействия всех n зарядов определится соотношением, где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля , определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = W п / q , откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e: .

Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q 1, Q 2 ¼, Q n имеем, где r i - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j, до заряда Q i . Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то, где r - расстояние от элементарного объема dx , dy , dz до точки (x , y , z ), где определяется потенциал; V - объем пространства, в котором распределен заряд.

Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (j 1 - j 2).

Определение удобно записать следующим образом:

Вопрос №4

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q : dA = q E dl , эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q : dA = - dW п = - q d ,где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl . Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат

E x dx + E y dy + E z dz = -d , (1.8)

где E x , E y , E z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

откуда .

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E = - grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком . Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М , положение которой определяется радиус-вектором r , равен = q / 4pe 0 er . Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E , а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора

. Проекция же градиента потенциала на направление вектора t , перпендикулярного вектору r , равна ,

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const).

В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением
силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков . Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. Здесь приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали - штриховыми.

Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.

Вопрос №5

Если проводнику сообщить избыточный заряд, то этот заряд распределится по поверхности проводника . Действительно, если внутри проводника выделить произвольную замкнутую поверхность S , то поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность должен быть равен нулю. В противном случае внутри проводника будет существовать электрическое поле, что приведет к перемещению зарядов. Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие

Суммарный электрический заряд внутри этой произвольной поверхности должен равняться нулю.

Напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника можно определить, используя теорему Гаусса. Для этого выделим на поверхности проводника малую произвольную площадку dS и, считая ее за основание, построим на ней цилиндр с образующей dl (рис. 3.1). На поверхности проводника вектор Е направлен по нормали к этой поверхности. Поэтому поток вектора Е через боковую поверхность цилиндра из-за малости dl равен нулю. Поток этого вектора через нижнее основание цилиндра, находящееся внутри проводника, также равен нулю, так как внутри проводника электрическое поле отсутствует. Следовательно, поток вектора Е через всю поверхность цилиндра равен потоку через его верхнее основание dS " : , где Е n - проекция вектора напряженности электрического поля на внешнюю нормаль n к площадке dS .

По теореме Гаусса, этот поток равен алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых поверхностью цилиндра, отнесенной к произведению электрической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости среды, окружающей проводник. Внутри цилиндра находится заряд , где - поверхностная плотность зарядов. Следовательно и , т. е. напряженность электрического поля вблизи поверхности заряженного проводника прямо пропорциональна поверхностной плотности электрических зарядов, находящихся на этой поверхности.

Экспериментальные исследования распределения избыточных зарядов на проводниках различной формы показали, что распределение зарядов на внешней поверхности проводника зависит только от формы поверхности : чем больше кривизна поверхности (чем меньше радиус кривизны), тем больше поверхностная плотность заряда.

Вблизи участков с малыми радиусами кривизны, особенно около острия, из-за высоких значений напряженности происходит ионизация газа, например, воздуха. В результате одноименные с зарядом проводника ионы движутся в направлении от поверхности проводника, а ионы противоположного знака к поверхности проводника, что приводит к уменьшению заряда проводника. Это явление получило название стекания заряда .

На внутренних поверхностях замкнутых полых проводников избыточные заряды отсутствуют .

Если заряженный проводник привести в соприкосновение с внешней поверхностью незаряженного проводника, то заряд будет перераспределяться между проводниками до тех пор, пока их потенциалы не станут равными.

Если же тот же заряженный проводник касается внутренней поверхности полого проводника, то заряд передается полому проводнику полностью.
В заключение отметим еще одно явление, присущее только проводникам. Если незаряженный проводник поместить во внешнее электрическое поле, то его противоположные части в направлении поля будут иметь заряды противоположных знаков. Если, не снимая внешнего поля, проводник разделить, то разделенные части будут иметь разноименные заряды. Это явление получило название электростатической индукции .

Вопрос №8

Все вещества в соответствии с их способностью проводить электрический ток подразделяются на проводники , диэлектрики и полупроводники . Проводниками называют вещества, в которых электрически заряженные частицы - носители заряда - способны свободно перемещаться по всему объему вещества. К проводникам относятся металлы, растворы солей, кислот и щелочей, расплавленные соли, ионизированные газы.
Ограничим рассмотрение твердыми металлическими проводниками , имеющими кристаллическую структуру . Эксперименты показывают, что при очень малой разности потенциалов, приложенной к проводнику, содержащиеся в нем электроны проводимости, приходят в движение и перемещаются по объему металлов практически свободно.
В отсутствие внешнего электростатического поля электрические поля положительных ионов и электронов проводимости взаимно скомпенсированы, так что напряженность внутреннего результирующего поля равна нулю.
При внесении металлического проводника во внешнее электростатическое поле с напряженностью Е 0 на ионы и свободные электроны начинают действовать кулоновские силы, направленные в противоположные стороны. Эти силы вызывают смещение заряженных частиц внутри металла, причем в основном смещаются свободные электроны, а положительные ионы, находящиеся в узлах кристаллической решетки, практически не меняют своего положения. В результате внутри проводника возникает электрическое поле с напряженностью Е " .
Смещение заряженных частиц внутри проводника прекращается тогда, когда суммарная напряженность поля Е в проводнике, равная сумме напряженностей внешнего и внутреннего полей, станет равной нулю:

Представим выражение, связывающее напряженность и потенциал электростатического поля, в следующем виде:

где Е - напряженность результирующего поля внутри проводника; n - внутренняя нормаль к поверхности проводника. Из равенства нулю результирующей напряженности Е следует, что в пределах объема проводника потенциал имеет одно и то же значение : .
Полученные результаты позволяют сделать три важных вывода:
1. Во всех точках внутри проводника напряженность поля , т. е. весь объем проводника эквипотенциален .
2. При статическом распределении зарядов по проводнику вектор напряженности Е на его поверхности должен быть направлен по нормали к поверхности , в противном случае под действием касательной к поверхности проводника компоненты напряженности заряды должны перемещаться по проводнику.
3. Поверхность проводника также эквипотенциальна, так как для любой точки поверхности

Вопрос №10

Если два проводника имеют такую форму, что создаваемое ими электрическое поле сосредоточено в ограниченной области пространства, то образованная ими система носит название конденсатора , а сами проводники называют обкладками конденсатора.
Сферический конденсатор. Два проводника, имеющие форму концентрических сфер с радиусами R 1 и R 2 (R 2 > R 1), образуют сферический конденсатор. Используя теорему Гаусса, легко показать, что электрическое поле существует только в пространстве между сферами. Напряженность этого поля ,

где q - электрический заряд внутренней сферы; - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между обкладками; r - расстояние от центра сфер, причем R 1 r R 2 . Разность потенциалов между обкладками и емкость сферического конденсатора .

Цилиндрический конденсатор представляет собой два проводящих коаксиальных цилиндра радиусами R 1 и R 2 (R 2 > R 1). Пренебрегая краевыми эффектами на торцах цилиндров и считая, что пространство между обкладками заполнено диэлектрической средой с относительной проницаемостью , напряженность поля внутри конденсатора можно найти по формуле: ,

где q - заряд внутреннего цилиндра; h - высота цилиндров (обкладок); r - расстояние от оси цилиндров. Соответственно, разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора и его емкость есть . .

Плоский конденсатор. Две плоские параллельные пластины одинаковой площади S , расположенные на расстоянии d друг от друга, образуют плоский конденсатор . Если пространство между пластинами заполнено средой с относительной диэлектрической проницаемостью , то при сообщении им заряда q напряженность электрического поля между пластинами равна , разность потенциалов равна . Таким образом, емкость плоского конденсатора .
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов.

При последовательном соединении n конденсаторов суммарная емкость системы равна

Параллельное соединение n конденсаторов образует систему, электроемкость которой можно вычислить следующим образом:

Вопрос №11

Энергия заряженного проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды dq , одинаковы и равны потенциалу проводника. Заряд q , находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq . Тогда энергия заряженного проводника

Приняв во внимание определение емкости, можно записать

Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.
Энергия заряженного конденсатора. Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q , равен , а потенциал обкладки, на которой находится заряд -q , равен . Энергия такой системы

Энергию заряженного конденсатора можно представить в виде

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S ·d представляет собой объем V , занимаемый полем. Следовательно,

Если поле однородно (что имеет место в плоском конденсаторе при расстоянии d много меньшем, чем линейные размеры обкладок), то заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью w . Тогда объемная плотность энергии электрического поля равна

C учетом соотношения можно записать

В изотропном диэлектрике направления векторов D и E совпадают и
Подставим выражение , получим

Первое слагаемое в этом выражении совпадает с плотностью энергии поля в вакууме. Второе слагаемое представляет собой энергию, затрачиваемую на поляризацию диэлектрика. Покажем это на примере неполярного диэлектрика. Поляризация неполярного диэлектрика заключается в том, что заряды, входящие в состав молекул, смещаются из своих положений под действием электрического поля Е . В расчете на единицу объема диэлектрика работа, затрачиваемая на смещение зарядов q i на величину dr i , составляет

Выражение в скобках есть дипольный момент единицы объема или поляризованность диэлектрика Р . Следовательно, .
Вектор P связан с вектором E соотношением . Подставив это выражение в формулу для работы, получим

Проведя интегрирование, определим работу, затрачиваемую на поляризацию единицы объема диэлектрика .

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенного в любом объеме V . Для этого нужно вычислить интеграл:

Плотность энергии электростатического поля

Используя (66), (50), (53), преобразуем формулу для энергии конденсатора следующим образом: , где - объём конденсатора. Разделим последнее выражение на : . Величина имеет смысл плотности энергии электростатического поля.

Вопрос №12

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле, поляризуется под действием этого поля. Поляризацией диэлектрика называется процесс приобретения им отличного от нуля макроскопического дипольного момента.

Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, которая называется поляризованостью или вектором поляризации (P ). Поляризованность определяется как электрический момент единицы объема диэлектрика,

где N - число молекул в объеме . Поляризованность P часто называют поляризацией, понимая под этим количественную меру этого процесса.

В диэлектриках различают следующие типы поляризации: электронную, ориентационную и решеточную (для ионных кристаллов).
Электронный тип поляризации характерен для диэлектриков с неполярными молекулами. Во внешнем электрическом поле положительные заряды внутри молекулы смещаются по направлению поля, а отрицательные в противоположном направлении, в результате чего молекулы приобретают дипольный момент, направленный вдоль внешнего поля

Индуцированный дипольный момент молекулы пропорционален напряженности внешнего электрического поля , где - поляризуемость молекулы. Значение поляризованности в этом случае равно , где n - концентрация молекул ; - индуцированный дипольный момент молекулы, который одинаков для всех молекул и направление которого совпадает с направлением внешнего поля.
Ориентационнный тип поляризации характерен для полярных диэлектриков. В отсутствие внешнего электрического поля молекулярные диполи ориентированы случайным образом, так что макроскопический электрический момент диэлектрика равен нулю.

Если поместить такой диэлектрик во внешнее электрическое поле, то на молекулу-диполь будет действовать момент сил (рис. 2.2), стремящийся ориентировать ее дипольный момент в направлении напряженности поля. Однако полной ориентации не происходит, поскольку тепловое движение стремится разрушить действие внешнего электрического поля.

Такая поляризация называется ориентационной. Поляризованность в этом случае равна , где <p > - среднее значение составляющей дипольного момента молекулы в направлении внешнего поля.
Решеточный тип поляризации характерен для ионных кристаллов. В ионных кристаллах (NaCl и т.д.) в отсутствие внешнего поля дипольный момент каждой элементарной ячейки равен нулю (рис. 2.3.а), под влиянием внешнего электрического поля положительные и отрицательные ионы смещаются в противоположные стороны (рис. 2.3.б). Каждая ячейка кристалла становится диполем, кристалл поляризуется. Такая поляризация называется решеточной . Поляризованность и в этом случае можно определить как , где - значение дипольного момента элементарной ячейки, n - число ячеек в единице объема.

Поляризованность изотропных диэлектриков любого типа связана с напряженностью поля соотношением , где - диэлектрическая восприимчивость диэлектрика.

Вопрос №13

Поляризованность среды обладает примечательным свойством: поток вектора поляризованности среды через произвольную замкнутую поверхность численно равен величине некомпенсированных "связанных" зарядов внутри этой поверхности, взятой с обратным знаком:

(1). В локальной формулировке описываемое свойство описывается соотношением

(2) , где - объемная плотность "связанных" зарядов. Эти соотношения называют теоремой Гаусса для поляризованности среды (вектора поляризации) в интегральной и дифференциальной формах соответственно. Если теорема Гаусса для напряженности электрического поля является следствием закона Кулона в "полевой" форме, то теорема Гаусса для поляризованности является следствием определения этой величины.

Докажем соотношение (1), тогда соотношение (2) окажется справедливым в силу математической теоремы Остроградского-Гаусса.

Рассмотрим диэлектрик из неполярных молекул с объемной концентрацией последних, равной . Считаем, что под действием электрического поля положительные заряды сместились из положения равновесия на величину , а отрицательные - на величину . Каждая молекула приобрела электрический момент , а единичный объем приобрел электрический момент . Рассмотрим произвольную достаточно гладкую замкнутую поверхность в описываемом диэлектрике. Допустим, что поверхность проведена так, что в отсутствие электрического поля она "не пересекает" отдельные диполи, то есть положительный и отрицательный заряды, связанные с молекулярной структурой вещества, "компенсируют" друг друга.

Заметим, кстати, что соотношения (1) и (2) при и удовлетворяются тождественно.

Под действием электрического поля элемент площади поверхности пересекут положительные заряды из объема в количестве . Для отрицательных зарядов имеем соответственно величины и . Суммарный заряд, перешедший на "внешнюю" сторону элемента площади поверхности (напомним, что - внешняя нормаль к по отношению к охватываемому поверхностью объему) равен

Свойства вектора поляризованности среды

Проинтегрировав полученное выражение по замкнутой поверхности , получим величину суммарного электрического заряда, покинувшего рассматриваемый объем. Последнее позволяет заключить, что в рассматриваемом объеме остался некомпенсированный заряд - , равный по модулю ушедшему заряду. В итоге имеем: , таким образом теорема Гаусса для векторного поля в интегральной формулировке доказана.

Чтобы рассмотреть случай вещества, состоящего из полярных молекул, достаточно в приведенных выше рассуждениях величину заменить на ее среднее значение .

Доказательство справедливости соотношения (1) можно считать законченным.

Вопрос №14

В диэлектрической среде могут присутствовать электрические заряды двух типов: "свободные" и "связанные". Первые из них не связаны с молекулярной структурой вещества и, как правило, могут относительно свободно перемещаться в пространстве. Вторые связаны с молекулярной структурой вещества и под действием электрического поля могут смещаться из положения равновесия, как правило, на очень малые расстояния.

Использование напрямую теоремы Гаусса для векторного поля при описании диэлектрической среды неудобно тем, что правая часть формулы

(1), содержит как величину "свободного", так и величину "связанного" (некомпенсированного) зарядов внутри замкнутой поверхности .

Если соотношение (1) почленно сложить с соотношением , получим , (2)

где - суммарный "свободный" заряд объема, охватываемого замкнутой поверхность . Соотношение (2) обуславливает целесообразность введения специального вектора

В качестве удобной расчетной величины, характеризующей электрическое поле в диэлектрической среде. Вектор раньше называли вектором электрической индукции или вектором электрического смещения. В настоящее время входит в употребление термин "вектор ". Для векторного поля справедлива интегральная форма теоремы Гаусса: и, соответственно, дифференциальная форма теоремы Гаусса:

где - объемная плотность свободных зарядов.

Если справедливо соотношение (для жестких электретов оно не справедливо), то для вектора из определения (3) следует ,

где - диэлектрическая проницаемость среды, одна из важнейших электрических характеристик вещества. В электростатике и квазистационарной электродинамике величина является действительной. При рассмотрении высокочастотных колебательных процессов фаза колебания вектора , а значит и вектора , может не совпадать с фазой колебаний вектора , в таких случаях величина становится комплекснозначной величиной.

Рассмотрим вопрос, при каких условиях в диэлектрической среде возможно появление некомпенсированной объемной плотности связанных зарядов. Для этой цели запишем выражение вектора поляризации через диэлектрическую проницаемость среды и вектор :

В справедливости которого легко убедиться. Теперь представляющая интерес величина может быть вычислена:

(3)

В отсутствие в диэлектрической среде объемной плотности свободных зарядов величина может обратиться в нуль, если

а) отсутствует поле ; или б) среда однородна или в) векторы и - ортогональны. В общем случае необходимо вычислить величину по соотношениям (3).

Вопрос №17

Рассмотрим поведение векторов E и D на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков с проницаемостями и при отсутствии на границе свободных зарядов.
Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы.

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность

Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра

, где - значение касательной составляющей усредненное по боковой поверхности . Переходя к пределу при (при этом также стремится к нулю), получаем , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции . Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим . Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора терпит разрыв , а нормальная составляющая вектора непрерывна .
Граничные условия для касательных составляющих векторов D и E следуют из соотношения, описывающего циркуляцию вектора напряженности электрического поля. Построим вблизи границы раздела прямоугольный замкнутый контур длины l и высоты h . Учитывая, что для электростатического поля , и обходя контур по часовой стрелке, представим циркуляцию вектора E в следующем виде: ,

где - среднее значение E n на боковых сторонах прямоугольника. Переходя к пределу при , получим для касательных составляющих E .

Для касательных составляющих вектора электрической индукции граничное условие имеет вид

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред касательная составляющая вектора непрерывна , а касательная составляющая вектора терпит разрыв .
Преломление линий электрического поля. Из граничных условий для соответствующих составляющих векторов E и D следует, что при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред линии этих векторов преломляются (рис. 2.8). Разложим векторы E 1 и E 2 у границы раздела на нормальные и тангенциальные составляющие и определим связь между углами и при условии . Легко видеть, что как для напряженности поля, так и для индукции справедлив один и тот же закон преломления линий напряженности и линий смещения

.
При переходе в среду с меньшим значением угол, образуемый линиями напряженности (смещения) с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже. При переходе в среду с большей линии векторов E и D , напротив, сгущаются и удаляются от нормали .

Вопрос №6

Теорема о единственности решения задач электростатики (заданы расположения проводников и их заряды).

Если задано расположение проводников в пространстве и полный заряд каждого из проводников, то вектор напряжённости электростатического поля в каждой точке определяется единственным образом. Док-во: (от противного)

Пусть заряд на проводниках распределён следующим образом:

Предположим, что возможно не только такое, но и отличное от него распределение зарядов:

(то есть отличается сколь угодно мало хотя бы на одном проводнике)

Значит хотя бы в одной точке пространства отыщется иной вектор E, т.е. вблизи новых значений плотности по крайней мере в каких-то точках E будет отлично. Т.о. при тех же самых начальных условиях, при тех же самых проводниках получим другое решение. Теперь поменяем знак заряда на противоположный.

(менять знак надо сразу на всех проводниках)

Вид силовых линий при этом не изменится (не противоречит ни теореме Гаусса, ни теореме о циркуляции), изменится только их направление и вектора E.

Теперь возьмём суперпозицию зарядов (комбинацию двух вариантов зарядов):

(т.е. наложим один заряд на другой, и зарядим уже 3-им способом)

Если не совпадает хотя бы где-то с , то хотя бы в одном месте получим какое-то

3) уводим линии в бесконечность, не замыкая их на проводнике. при этом замкнутый контур L замыкаем на бесконечности. Но и вэтом случае обход по силовой линии не даст нулевой циркуляции.

Вывод: значит не может быть какой-либо отличной о нуля, значит распределение зарядов установлено единственным образом –> единственность решения, т.е. E – находим единственным образом.

Вопрос №7

Билет 7. Теорема о единственности решения задач электростатики. (заданы расположения проводников и их потенциалы). Если задано расположение проводников и потенциал каждого из них, то напряжённость электростатического поля в каждой точке находится единственным образом.

(Берклеевский курс)

Всюду вне проводника функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных: , или, иначе, (2)

Очевидно, что W не удовлетворяет граничным условиям. У поверхности каждого проводника функция W равна нулю, так как и принимают одинаковое значение у поверхности проводника. Следовательно W является решением другой электростатической задачи, с теми же проводниками, но при условии, что все проводники имеют нулевой потенциал. Если это так, то можно утверждать, что функция W равна нулю во всех точках пространства. Если это не так, то она должна иметь где-то максимум или минимум. Путь W имеет экстремум в точке P, рассмотрим тогда шар с центром в этой точке. Нам известно, что среднее значение по сфере функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа, равно значению функции в центре. Это несправедливо, если центр является максимум или минимумом этой функции. Таким образом, W не может иметь максимума или минимума, она всюду должна быть равна нулю. Отсюда следует, что =

Вопрос №28

Трм. о циркуляции в-ра I .

I – вектор намагниченности. I = = N p 1 м = Nn i 1 S \ c

DV = Sdl cosα; di мол = i 1 мол NSdl cosα = cIdl cosα, N – число мол-л на 1см 3 . Вблизи контура считаем вещество однородным, т.е все диполи, все молекулы имеют одинаковый магнитный момент. Для подсчета возьмем молекулу, я дро которой расположено прямо на контуре dl. Надо посчитать, сколько атомов пересекут цилиндрик 1 раз => Это такие, чьи центры лежат внутри этого самого воображ цилиндра. Таким образом нас интересует только i мол – т.е. ток, пересекающий поверхность, опирающуюся на контур.

Вопрос №9

Пусть два заряда q 1 и q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим

П 1 =W 1 =q 1 φ 12 П 2 =W 2 =q 2 φ 21

(φ 12 и φ 21 – соответственно потенциалы поля заряда q 2 в точке нахождения заряда q 1 и заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2).

Согласно определению потенциала точечного заряда

Следовательно.

или

Таким образом,

Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна

(12.59)

(φ і - потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q i) в точке, в которой находится заряд q i).

Энергия уединённого заряженного проводника

Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна

Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на

(С – электроёмкость проводника).

Следовательно,

т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на

dП = dW =δA= Cφdφ

Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:

(12.60)

Применяя соотношение
, получаем следующие выражения для потенциальной энергии:

(12.61)

(q - заряд проводника).

Энергия заряженного конденсатора

Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:

(12.62)

(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.

Сучётом того, что Δφ=φ 1 –φ 2 = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками), получим формулу

(12.63)

Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.

Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.

Для однородного поля объёмная плотность энергии

(12.64)

Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,

Но
,
тогда

(12.65)

(12.66)

(Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε 0 E - электрическое смещение поля).

Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.

Следует отметить, что выражение
и
справедливы только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношениеp= ε 0 χE.

Выражение
соответствует теории поля – теории близкодействия, согласно которой носителем энергии является поле.

Электрическое поле - одна из двух компонент электромагнитного поля, представляющее собой векторное поле, существующее вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также возникающее при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может быть обнаружено благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика - напряжённость электрического поля - векторная физическая величина, равная отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещённый в данную точку пространства, к величине этого заряда. Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

В классической физике, применимой при рассмотрении крупномасштабных (больше размера атома) взаимодействий, электрическое поле рассматривается как одна из составляющих единого электромагнитного поля и проявление электромагнитного взаимодействия. В квантовой электродинамике - это компонент электрослабого взаимодействия.

В классической физике система уравнений Максвелла описывает взаимодействие электрического поля, магнитного поля и воздействие зарядов на эту систему полей.

Основным действием электрического поля является силовое воздействие на неподвижные относительно наблюдателя электрически заряженные тела или частицы. На движущиеся заряды

силовое воздействие оказывает и магнитное поле (вторая составляющая силы Лоренца).

Энергия электрического поля. Электрическое поле обладает энергией. Плотность этой энергии определяется величиной поля и может быть найдена по формуле

где E - напряжённость электрического поля, D - индукция электрического поля.

Для электрического и магнитного полей их энергия пропорциональна квадрату напряжённости поля. Строго говоря, термин «энергия электромагнитного поля» является не вполне корректным. Вычисление полной энергии электрического поля даже одного электрона приводит к значению, равному бесконечности, поскольку соответствующий интеграл (см. ниже) расходится. Бесконечная энергия поля вполне конечного электрона составляет одну из теоретических проблем классической электродинамики. Вместо него в физике обычно используют понятие плотности энергии электромагнитного поля (в определённой точке пространства). Общая энергия поля равняется интегралу плотности энергии по всему пространству.

Плотность энергии электромагнитного поля является суммой плотностей энергий электрического и магнитного полей. В системе СИ.